비오 사바르 법칙 문제 - bio sabaleu beobchig munje

이런 상황을 생각해봅시다. 도선이 이렇게 놓여져 있는데 전류는 오른쪽 방향으로 흐릅니다.

원점과, P점(자기장을 만드는 지점), 전류가 흐르는 지점(프라임 점)을 잡기 위해 다음과 같이 세팅합니다.

우리가 계속 했듯이 r은 P점을 향하는 벡터이고

r'은 전류가 흐르는 작은 조각 하나를 향하는 벡터이고

r-r'은 전류가 흐르는 작은 조각에서 P점까지의 벡터입니다.

각도는 임의로 두었습니다.

그리고 이제 비오-사바르 법칙을 꺼냅니다.

먼저 벡터의 외적이 거슬리니까, 외적의 결과를 벡터의 크기와 방향으로 구별될 수 있도록 해줍니다.

외적이라는 것은 A×B의 외적일때에는 A의 크기와 B의 크기, 그리고 A와 B가 이루는 각도의 사인값입니다. (또는 두 벡터가 이루는 '작은 각'도의 사인값도 됩니다.)

그리고 이제 dB의 방향은 찾았으므로, 벡터 대신에 크기를 가지고 계산하기 위해서

이와같이 d, x, √(x^2+d^2) 이렇게 크기를 설정해주었어요.

그리고는 다음과 같이 정의해줍니다.

코사인을 길이로 표현하기 위해 바꾸어주어도 되고, 코사인으로 그대로 적분해도 됩니다.

코사인으로 적분하기 위해서는 dx를 각도에 관한 변수로 바꾸어주어야 하는데, 이 때에는 x/d 가 탄젠트 세타라는 것을 이용해서, 양변을 미분하면 dx=dsec^2@ d@로 바꿀 수 있습니다.

거리에 대해서 적분하면 와 같이 결과가 나옵니다.

x1, x2는 전류가 흐르는 도선의 총 길이가 x1부터 x2까지라는 뜻입니다.

위의 적분은 다음을 참고하세요.

https://blog.naver.com/seolgoons/221318629640

결과는 이렇게 나옵니다.

그렇다면 x1이 마이너스 무한대로 가고, x2가 플로스 무한대로 간다면?

무한히 긴 직선도선을 말하는 것입니다.

이제 앙페르 법칙을 이용해서도 구해봅시다. 무한 도선이 오른쪽으로 전류가 흐르고 있을 때

떨어진 거리가 d일 때 그 지점에서의 자기장은?

먼저 우리는 방향은 쉽게 구할 수 있습니다. 오른 나사 법칙으로 구할 수 있습니다. 즉 튀어나오는 방향으로 자기장이 생긴다는 것을 알 수 있어요.

그럼 이제 자기장의 크기만 구해주면 됩니다.

이렇게 앙페르 고리를 잡습니다.

전기장을 구할 때 가우스 법칙을 쓸 때에는 가우스 '곡면'을 잡았었는데,

자기장에서 앙페르 법칙을 쓸 때에는 앙페르 '고리'를 잡으면 됩니다. 선을 따라가야 해요.

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솔레노이드가 마는는 자기장은 다음과 같이 앙페르 법칙을 이용해서도 구할 수 있습니다.

z축 방향으로 자기장이 생성된다고 할 때, 위와 같이 앙페르 고리르 빨간색처럼 잡아도 됩니다.

그런데 앙페르 고리는 어떻게 잡던지간에 고리 안에 전류를 포함하고만 있으면 되니까

파란색처럼 3번 부분이 아주 멀리있게 잡아도 됩니다.

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그리고, 솔레노이드로부터 아주 멀리 떨어진 곳에서의 자기장은 당연히 0일 것입니다.

그래서 이렇게 앙페르 법칙의 좌변을 적분할 때 각 부분(1, 2, 3, 4 부분)별로 적분했을 때 1번만 살아남게 되는것이죠.

그리고 우변에 N이 곱해진 이유는, 솔레노이드라는 것 자체가 원형 도선이 여러개 뭉쳐져있는 것인데, 그 원형 도선이 N개 지나간다. 즉 전류 I가 N개 지나간다는 뜻입니다.

그러므로 위와같이 결론을 쉽게 낼 수 있어요.

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그런데 사실 솔레노이드 외부에는 자기장이 0인 것은 아니고

아주 미세하게, 약하게 자기장이 있다고 합니다.

물론 내부에서는 거의 균일한 자기장이 형성되고요.