RC 회로 충전 시간 계산 - RC hoelo chungjeon sigan gyesan

Electric Engineering/Electric circuit

2020. 11. 10.

안녕하세요 오늘은 전자회로에서 RC회로와 시정수의 관계에 대해서 정리해보겠습니다.

위 그래프를 보시면 지수적인 함수특성(Exponential)으로 인해 V(t)는 Vo*(e(-t/RC))의 응답을 가집니다.

하지만 아래의 그림처럼 RC=1이든 RC=2이든 지수함수특성으로 인해 둘다 0에는 도달하지 않습니다.

그렇다면 어떤 그래프가 더 빠른지 성능지표를 확인할 수 있는 방법을 알아보겠습니다.

위와 같이 PI 성능지표로 볼 수 있는 방법이 3가지가 있습니다.

첫째, Delay time. 100%에서 50%까지 가는 동안의 시간을 보는 것

둘째, Falling time. 90%에서 10%로 떨어지는 동안의 시간을 보는 것

마지막으로 셋째는 Time Constant 바로 시정수입니다.

시상수 또는 시정수는 입력이 0일때의 즉 고유응답이 1/e로 감소하는데 걸리는 시간을 말합니다.

그 시간은 대력 36.8%로 떨어지는 시간을 말합니다.

또한 고유응답이 초기의 감소율로 감소할 경우 (기울기) 응답이 Zero가 되는데 걸리는 시간을 시정수라고 말합니다.

직렬 RC회로에서 t=RC입니다. 전기회로에서 시정수는 RC 직렬회로에서 직류전원을 투입했을 때 콘덴서의 충전 전압이 전원 전압의 63.2% 까지 충전되는 시간을 말하고 어떤 전압으로 충전되어있었던 콘덴서 C를 어떤 저항을 통해서 방전시켰을 때 콘덴서의 전압이 최초 전압의 36.8%가 되는 시간을 말합니다.

저항이 크다면 회로에 흐르는 전류가 적어지고 커패시터에 충전되는 전하량이 줄어듭니다. 그럼 오래걸리게 되겠죠?

그리고 커패시턴스 자체가 크면 이것 또한 충전되는 전하가 많이 필요하기 때문에 시간이 오래걸립니다.

그래서 시정수가 클 수록 시간이 오래걸린다고 이해하면 쉽게 이해할 수 있으실거예요!

제가 공부하고 있는 공대 대학원생 브이로그도 보러오세요 :)

youtu.be/3vdR_2S7skA

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전기전자 기초다지기 19. RC 회로의 충전.방전시간( charging time, discharging time )을 구하는 방정식과 계산 예.

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by 미소사 2020. 3. 15. 12:05

본문

RC회로에서 전압이 충전되고, 방전되는 시간을 구하는 식을 유도해 낸다면, 저항과 캐패시터의 값을 정해주는 것으로 충방전시간을 계산해 낼 수 있습니다. 반대로 원하는 충방전 시간을 얻고자 한다면, 저항과 캐패시터의 값을 계산으로 정해줄 수도 있습니다. 부가적으로 RC회로에서 저항과 캐패시터의 값 크기에 따라 충방전 시간이 빨라지는지, 느려지는지 확인해 보기로 합니다.

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charging time, discharging time, RC회로, RC회로의 충.방전시간, 자연로그함수, 자연지수함수

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시정수 t(타우)=RC 잖아요

많약에 300M옴 이랑 10마이크로F을 곱하면 30이 나오잖아요.

질문1) 30초 동안 충전이 된다는 의미 인가요?

질문2)만약 30초 동안 충전된다고 하면 실험한 것들 그래프 보면

         지수함수 마냥 올라갔다가 다시 떨어졌다가 반복하는데

         그것은 무슨 의미인가요?

질문3)충전 63% 방전 37% 이런 거는 시정수랑 정확히

         어떤 관계가 있는 건가요?a

answer---------------------------------------------------

시정수 t(타우)=RC 잖아요

많약에 300M옴 이랑 10마이크로F을 곱하면 30이 나오잖아요.

300㏁ x 10㎌ = 300×(10^6) × 10 × (10^-6) = 3000 sec가 되겠네요.

(30은 잘못 계산한 것입니다만 30초로 알고 질문하셨으니 시정수를 30으로 가정하겠습니다.

질문1) 30초 동안 충전이 된다는 의미 인가요?

시정수의 단위는 초(sec)이며, 이때 저항은 오옴(Ω), 컨덴서는 패럿(F)이 기본 단위가 됩니다.

시정수가 30초라는 것은

위의 그림에서 스위치를 ⓐ 쪽에 두었을 때 충전을 하게 되는데 저항 R 때문에 바로 만충전되지 않고 서서히 충전을 시작하게 되어 Vc양단 전압이 만충전 전압의 63.2%까지 이른 시간,  이것이 30초라는 의미입니다.

다시 스위치를 ⓑ 쪽에 두게 되면 저항 R을 통하여 방전을 하게 되는데 이 때 Vc 혹은 VR 전압이 36.8%까지 이르게 되는 시간이 30초 걸린다는 의미입니다.

그렇게 되는 이유에 대해서는 아래에서 좀더 자세히 설명하도록 하겠습니다.

질문2)만약 30초 동안 충전된다고 하면 실험한 것들 그래프 보면

         지수함수 마냥 올라갔다가 다시 떨어졌다가 반복하는데

         그것은 무슨 의미인가요?

스위치 대신에 위와 같은 전압파형(펄스 전압)을 회로에 가하면,

시정수 값에 따라 전압 파형의 변화의 완급 정도가 달라지게 됩니다.

그래서 저항만 있는 회로에서는 VR  전압 역시도 전원 전압 파형과 동일하게 나타나지만

콘덴서나 코일이 있는 회로에서는 다양한 미적분 회로를 얻을 수 있습니다.

질문3)충전 63% 방전 37% 이런 거는 시정수랑 정확히

         어떤 관계가 있는 건가요?

[콘덴서 양단 전압 파형]

[저항 양단 전압 파형]

위의 두 그림은 스위치를 ⓐ 쪽에 두었을 때 나타나는 전압 파형의 변화 곡선입니다.

지금 Vc = 0.632V(63.2%) 와 VR = 0.368V(36.8%) 와 만나는 지점이 바로 1τ 에 해당합니다.

충전 63% 방전 37% 는 위와 같은 시정수 지점을 지칭하는 비율을 일컫습니다.

즉, 콘덴서의 양단 전압이 충전시 약 63%될 때의 지점, 방전 시에는 약 37%될 때의 지점을 측정한 시간이 1τ 입니다.  (방전 시의 콘덴서와 저항의 양단 전압은 위 그림의 충전 시 저항 양단 전압 파형과 동일합니다. 방전되므로 콘덴서나 저항의 단자 전압들이 떨어지는 곡선으로 생각하시면 되겠습니다.)

그러면 왜 0.632와 0.368 같은 다소 복잡한 소수점인가라는 의문이 들 수도 있겠는데요.

RC 직렬 회로에서 전압이 변화되는 곡선을 계산하기 위한 수학적인 식은

아래와 같습니다.

VC =

VR =

여기에서 

(ε 는 오일러 수인데 수학에서는 e 로 사용하나 공학에서는 전원 전압 기호로 e를 많이 사용하기 때문에 혼동을 피하기 위하여 ε를 사용합니다.

허수 기호가 수학에서는 i 로 사용하나 공학에서는 전류 기호로 i를 많이 사용하기 때문에 공학에서의 허수기호는 보통 j 를 쓰는 것과 같은 맥락으로 보시면 됩니다.)

만약  t 가 RC와 같게 된다면

계산기로  1/ε 를 계산해 보면 0.3678794412.......  순환되지 않는 무한소수값이 나옵니다.

참고로 오일러 수(e)는 미적분을 해도 항상 자기 자신이 되는 수를 수학자 오일러가 발견한 데서 비롯된 π나 √ 처럼 기호화된 아주 특이한 수입니다.

이 수가 콘덴서나 코일의 충방전 곡선과 특이한 관계가 있어 이 오일러 수를 이용하여 그 곡선을 구할 수 있다는 사실을 생각해 보면 왜 e를 밑으로 하는 로그를 자연로그라 하는지 짐작하실 것입니다. (자연 속에 존재하는 그런 의미..)  

다시 본론으로 넘어 와서 R×C 를 계산해서 나온 값과 일치하는 시간 후의 t 초를  τ라 하기로 하고

공학자들은 그 값을 기준으로 충방전 곡선을 해석합니다. 이것은 일종의 약속입니다. 이 값이 약속으로 된 것은 R과 C 값은 쉽게 알 수 있고 기준을 정하기 쉽기 때문이겠죠.

그래서 1- 0.36787.... = 0.63212....  도 나온 것이고

63%, 37%는 여기에서 나온 반올림 수입니다.

참고로 90%까지 진행되는 과정을 과도기라 하며 전자 회로에서는 과도기값은 보통 쓰이질 못합니다. 모든 전자 부품들이 미세 시간으로 들어가면 과도현상들이 다 있습니다. 그래서 전자 부품은 과도현상 때문에 시간 지연이 조금씩 생기며 속도 저하의 원인이 됩니다. 물론 리니어 증폭회로 등에서는 오히려 과도기값을 필요로 하기도 합니다.

이 90%까지를 역으로 환산하여 풀어 보면

이 때의 t 를 구해보면 t = 2.30258.... = 2.30258RC = 2.30258τ  가 나옵니다.

그래서 과도기가 끝나는 시간을 구할 때는 보통 2.3τ 로 쉽게 계산하기도 합니다.

정리하자면,

시간상수 타우값이 작으면 VR, VC 의 변화가 급격하게 되고 타우값이 크면 그 변화가 완만해집니다.

그럼, 도움이 되셨기를 바랍니다.