이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.
대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.
정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.
직육면체 대각선의 길이
아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이
피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?
그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.
△ABC에서 는 빗변이니까 = a2 + b2이 돼요.
자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까
=
+
= a2 + b2 +
c2
=
세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =
밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.
대각선의 길이 =
이므로
대입하면
정육면체 대각선의 길이
정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.
정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?
참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.
모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.
대각선의 길이 = (cm)
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입체도형 대각선의 길이
이번 글에서는 직육면체 대각선 길이를 구하는 방법에 대하여 알아보자.
결론부터 말하면 아래와 같은 직육면체가 주어진다면 대각선의 길이는 다음과 같다.
▲공식이 아주 간단하기 때문에 암기하기도 쉽다. 왜 이런 공식이 나오는지에 대하여 알아보자.
증명하는 방법은 사실 그리 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 사용하여 쉽게 증명이 가능하다. 우선 직육면체의 밑면에 선을 하나 그어주자.
▲밑면에 선을 하나 더 그어준다면 2개의 직각삼각형 △ABC, △BCD가 만들어진다. 선분BC의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 사용하여 직육면체 대각선인 선분BD를 구할 수 있다. 그럼 선분 BC를 구하려면??? 역시 이것도 피타고리스의 정리를 사용하여 쉽게 알 수 있다.
자 그러면 차례대로 해보자. 우선 선분BC를 구하기 위해 △ABC를 가져와보자.
▲위의 그림처럼 피타고라스의 정리를 사용하여 선분BC의 길이를 구할 수 있다.
선분BC의 길이를 구했으니 마지막으로 직육면체 대각선인 선분BD의 길이를 구하기 위해 △BCD를 가져오자.
▲마찬가지로 피타고라스의 정리를 사용하여 선분BD의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 정육면체의 경우도 그대로 적용되는 공식이니 잘 알아두도록 하자.
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